BREVET MATHS : L’ESSENTIEL

V. CALCUL D’UNE LONGUEUR :

V. 1. Triangle rectangle :

Rappel du théorème de Pythagore : le carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans un triangle ABC rectangle en B, AC étant l’hypoténuse, où AB = b, BC = b et AC = c  :

AB2 + BC2 = AC2 ou encore  a2 + b2 = c2

Le théorème de Pythagore permet ainsi de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle si l’on connaît les deux autres.

La réciproque du théorème de Pythagore : un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème sert à démontrer qu’un triangle est rectangle lorsqu’on connait les longueurs de ses trois côtés.

Rappel de trigonométrie :

Le Sinus est égal à longueur du côté Opposé divisée par la longueur de l’Hypoténuse (SOH). Le Cosinus est égal à la longueur du côté Adjacent divisée par la longueur de l’Hypoténuse (CAH). La Tangente est égale à la longueur du côté Opposé divisée par la longueur du côté Adjacent (TOA).

Moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA

Pour tout angle aigu â d’un triangle rectangle:

(cos â)2 + (sin â)2 = 1 et tan â = sin â/ cos â

Exemple :

AC est l’hypoténuse et BC l’opposé, le triangle étant rectangle en B,

sin â = BC/AC c.à d. sin 40 = BC/6 d’où BC = sin 40 x 6 = 4,47 cm

V.2. Dans un triangle quelconque :

Rappel du théorème de Thales : si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

Deux configurations se retrouvent :

 Exemple :

Calculer AB

DE // AB  et  EA et DB sont sécantes en C. Selon le théorème de Thalès,

VI. CALCUL D’ANGLES :

VI. 1. Triangle quelconque :

Propriétés :

  • La somme des angles d’un triangle étant égale à 180°C, si l’on connaît la valeur de 2 des 3 angles on peut en déduire la troisième.
  • Deux angles correspondants ou alternes- internes (situés de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites et non adjacents.) sont égaux si les droites sont parallèles.

.

  • Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

VI.2. Triangle rectangle :

Utilisation de la trigonométrie :

Exemple : Calcul de l’angle â

AB est le côté adjacent et BC le côté opposé de l’angle â

VI.3. Angles inscrits et angles au centre :

Propriétés :

  • Le théorème des angle inscrits affirme que si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
  • Le théorème de l’angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d’un angle inscrit interceptant le même arc.

Citation sur les mathématiques :

“Les mathématiques sont une gymnastique de l’esprit et une préparation à la philosophie.

Isocrate

Suite de l’article, droites parallèles et perpendiculaires, page 4