BREVET MATHS : L'ESSENTIEL

L’essentiel à connaître pour l’épreuve de mathématiques du brevet des collèges.

I. FRACTIONS :

Une fraction se présente sous la forme suivante, où a est le numérateur et b le dénominateur

I.1. Addition ou soustraction de fractions

Méthode :

réduire au même dénominateur,
additionner ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur commun.

Exemple :

12 est le dénominateur commun, 12 est multiple de 6, on transforme une seule fraction

I.2. Multiplication de fractions

Méthode : Multiplier les numérateurs entre eux ainsi que les dénominateurs entre eux (ne pas réduire au même dénominateur)

Exemple :

I.3. Division de fractions :

Méthode : multiplier la première fraction par l’inverse de la deuxième fraction

Exemple :

Règles de priorité :

Effectuer d’abord les calculs entre crochets puis à l’intérieur des crochets les parenthèses en commençant par les multiplications et les divisions (de gauche à droite) puis les additions et les soustractions ( de gauche à droite).

ou CPMDAS ou Crochets/ Parenthèses/ Multiplication/ Division / Addition / Soustraction

Exemple :

Penser à réduire les fractions à leur plus simple expression !

II. PUISSANCES :

II.1. Règles de calcul de base :

où a, b, m et n sont des entiers relatifs

II.2. Puissances de 10 :

Pour calculer avec des puissances de 10, regrouper les puissances de 10 et les nombres autres que les puissances

Exemple :

II.3. Puissance d’un nombre :

Même méthode qu’avec les puissances de 10

Exemple :

III. RACINES CARRÉES :

III. 1. Définition :

La racine carrée d’un nombre positif a, est le nombre positif dont le carré est égal à a.

On le note . Le signe est appelé radical.

III.2. Formules de base :

IV. FONCTIONS :

IV. 1. Fonction linéaire :

Une fonction linéaire est une fonction de la forme f : x –> ax où a est un nombre réel appelé coefficient de la fonction linéaire ou coefficient de proportionnalité.

Propriété
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
– si a > 0, alors la droite «monte».
– si a < 0, alors la droite «descend».

Cas particuliers
– Une augmentation de p% se traduit par la fonction linéaire f(x) = (1 + p/100)x
– Une réduction de p% se traduit par la fonction linéaire f(x) = (1 – p/100)x

IV. 2. Fonction affine :

Une fonction affine est une fonction de la forme f : x —> ax + b où a est un nombre réel appelé coefficient de la fonction linéaire ou coefficient de proportionnalité, et b l’ordonnée à l’origine.

Propriété
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite.
– si a > 0, alors la droite «monte».
– si a < 0, alors la droite «descend».

Cas particuliers
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine.

V. CALCUL D’UNE LONGUEUR :

V. 1. Triangle rectangle :

Rappel du théorème de Pythagore : le carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans un triangle ABC rectangle en B, AC étant l’hypoténuse, où AB = b, BC = b et AC = c :

AB² + BC² = AC² ou encore a² + b² = c²

Le théorème de Pythagore permet ainsi de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle si l’on connaît les deux autres.

La réciproque du théorème de Pythagore : un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème sert à démontrer qu’un triangle est rectangle lorsqu’on connait les longueurs de ses trois côtés.

Rappel de trigonométrie :

Le Sinus est égal à longueur du côté Opposé divisée par la longueur de l’Hypoténuse (SOH). Le Cosinus est égal à la longueur du côté Adjacent divisée par la longueur de l’Hypoténuse (CAH). La Tangente est égale à la longueur du côté Opposé divisée par la longueur du côté Adjacent (TOA).

Moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA

Pour tout angle aigu â d’un triangle rectangle:

(cos â)² + (sin â)² = 1 et tan â = sin â/ cos â

Exemple :

AC est l’hypoténuse et BC l’opposé, le triangle étant rectangle en B,

sin â = BC/AC c.à d. sin 40 = BC/6 d’où BC = sin 40 x 6 = 4,47 cm

V.2. Dans un triangle quelconque :

Rappel du théorème de Thales : si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

Deux configurations se retrouvent :

Exemple :

Calculer AB

DE // AB et EA et DB sont sécantes en C. Selon le théorème de Thalès,

VI. CALCUL D’ANGLES :

VI. 1. Triangle quelconque :

Propriétés :

La somme des angles d’un triangle étant égale à 180°C, si l’on connaît la valeur de 2 des 3 angles on peut en déduire la troisième.

Deux angles correspondants ou alternes- internes (situés de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites et non adjacents.) sont égaux si les droites sont parallèles.

Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

VI.2. Triangle rectangle :

Utilisation de la trigonométrie :

Exemple : Calcul de l’angle â

AB est le côté adjacent et BC le côté opposé de l’angle â

VI.3. Angles inscrits et angles au centre :

Propriétés :

Le théorème des angle inscrits affirme que si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
Le théorème de l’angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d’un angle inscrit interceptant le même arc.

VII. DROITES PARALLÈLES ET PERPENDICULAIRES :

VII.1. Propriétés :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.

VII.2. Démonstration triangle rectangle ou non :

Si l’on connaît la dimension des 3 côtés, on calcule le carré du plus grand côté et la somme des carrés des 2 autres côtés.

Si la somme est égale, on en déduit que le triangle est rectangles (théorème de Pyhagore).
Si la somme est différente, on en conclue que le triangle n’est pas rectangle ( contraposée du théorème de Pythagore).

Rappel : si le théorème est le suivant Si on A alors on obtient B. La réciproque de ce théorème serait « Si on B alors on obtient A (pas toujours vraie) et la contraposée : si on n’a pas B alors on n’obtient pas A (toujours vraie).

VII.3. Triangle inscrit dans un cercle :

Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et la médiane relative à l’hypoténuse a pour mesure la moitié de celle de l’hypoténuse.

SI un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle alors il est rectangle en ce point.

VII.4. Démontrer que 2 droites sont parallèles ou non :

Si l’on connaît 4 longueurs en configuration de Thalès.

VIII. DÉVELOPPEMENT D’EXPRESSIONS

VIII.1. La règle de double distributivité :

Exemple :

(2x – 3) (4+ 5x) = 8x + 10 x² -12 – 15x = 10 x² -7x – 12

VIII.2. Les identités remarquables :

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a -b) = a² – b²

Exemples :

(x + 2)² = x² + 2x + 4 (3x – 2)² = 9x² – 6x + 4 (2x + 3) (2x -3) = 4x² – 9

IX. FACTORISATION D’EXPRESSIONS

IX.1 Un facteur commun :

Exemple : (4x – 3)² – (4x -2)(4x -3) = (4x-3) ((4x -3) – (4x -2)) = (4x – 3) (-1) = 3 – 4x

IX.2. Utilisation des identités remarquables :

Rechercher le double produit de type (.. + ..)² ou (..- ..)²

Exemple : x² -6x + 9 = (x – 3)² vérifier le double produit 2 x (-3) = – 6x pour arriver au résultat

Chercher un facteur commun

Exemple : 9 – 36x² = (3 + 6x) (3 – 6x)

X. GÉOMÉTRIE SPATIALE

X.1. Formules sur les aires

X.2. Formules sur les volumes :

X.3. Formules sur les aires de solides :

Aire_latérale = somme des aires des faces latérales

Aire _totale = Aire _latérale + Aire _bases (pour un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles et les bases deux polygones identiques)

Aire _sphère = 4 × π × R²

X.4. Sections :