BREVET MATHS : L'ESSENTIEL
L’essentiel à connaître pour l’épreuve de mathématiques du brevet des collèges.
I. FRACTIONS :
Une fraction se présente sous la forme suivante, où a est le numérateur et b le dénominateur
I.1. Addition ou soustraction de fractions
Méthode :
- réduire au même dénominateur,
- additionner ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur commun.
Exemple :
12 est le dénominateur commun, 12 est multiple de 6, on transforme une seule fraction
I.2. Multiplication de fractions
Méthode : Multiplier les numérateurs entre eux ainsi que les dénominateurs entre eux (ne pas réduire au même dénominateur)
Exemple :
I.3. Division de fractions :
Méthode : multiplier la première fraction par l’inverse de la deuxième fraction
Exemple :
Règles de priorité :
Effectuer d’abord les calculs entre crochets puis à l’intérieur des crochets les parenthèses en commençant par les multiplications et les divisions (de gauche à droite) puis les additions et les soustractions ( de gauche à droite).
ou CPMDAS ou Crochets/ Parenthèses/ Multiplication/ Division / Addition / Soustraction
Exemple :
Penser à réduire les fractions à leur plus simple expression !
II. PUISSANCES :
II.1. Règles de calcul de base :
où a, b, m et n sont des entiers relatifs
II.2. Puissances de 10 :
Pour calculer avec des puissances de 10, regrouper les puissances de 10 et les nombres autres que les puissances
Exemple :
II.3. Puissance d’un nombre :
Même méthode qu’avec les puissances de 10
Exemple :
III. RACINES CARRÉES :
III. 1. Définition :
La racine carrée d’un nombre positif a, est le nombre positif dont le carré est égal à a.
On le note
III.2. Formules de base :
IV. FONCTIONS :
IV. 1. Fonction linéaire :
Une fonction linéaire est une fonction de la forme f : x –> ax où a est un nombre réel appelé coefficient de la fonction linéaire ou coefficient de proportionnalité.
Propriété
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
– si a > 0, alors la droite «monte».
– si a < 0, alors la droite «descend».
Cas particuliers
– Une augmentation de p% se traduit par la fonction linéaire f(x) = (1 + p/100)x
– Une réduction de p% se traduit par la fonction linéaire f(x) = (1 – p/100)x
IV. 2. Fonction affine :
Une fonction affine est une fonction de la forme f : x —> ax + b où a est un nombre réel appelé coefficient de la fonction linéaire ou coefficient de proportionnalité, et b l’ordonnée à l’origine.
Propriété
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite.
– si a > 0, alors la droite «monte».
– si a < 0, alors la droite «descend».
Cas particuliers
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine.
V. CALCUL D’UNE LONGUEUR :
V. 1. Triangle rectangle :
Rappel du théorème de Pythagore : le carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Dans un triangle ABC rectangle en B, AC étant l’hypoténuse, où AB = b, BC = b et AC = c :
AB2 + BC2 = AC2 ou encore a2 + b2 = c2
Le théorème de Pythagore permet ainsi de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle si l’on connaît les deux autres.
La réciproque du théorème de Pythagore : un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Ce théorème sert à démontrer qu’un triangle est rectangle lorsqu’on connait les longueurs de ses trois côtés.
Rappel de trigonométrie :
Le Sinus est égal à longueur du côté Opposé divisée par la longueur de l’Hypoténuse (SOH). Le Cosinus est égal à la longueur du côté Adjacent divisée par la longueur de l’Hypoténuse (CAH). La Tangente est égale à la longueur du côté Opposé divisée par la longueur du côté Adjacent (TOA).
Moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA
Pour tout angle aigu â d’un triangle rectangle:
(cos â)2 + (sin â)2 = 1 et tan â = sin â/ cos â
Exemple :
AC est l’hypoténuse et BC l’opposé, le triangle étant rectangle en B,
sin â = BC/AC c.à d. sin 40 = BC/6 d’où BC = sin 40 x 6 = 4,47 cm
V.2. Dans un triangle quelconque :
Rappel du théorème de Thales : si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
Deux configurations se retrouvent :
Exemple :
Calculer AB
DE // AB et EA et DB sont sécantes en C. Selon le théorème de Thalès,
VI. CALCUL D’ANGLES :
VI. 1. Triangle quelconque :
Propriétés :
- La somme des angles d’un triangle étant égale à 180°C, si l’on connaît la valeur de 2 des 3 angles on peut en déduire la troisième.
- Deux angles correspondants ou alternes- internes (situés de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites et non adjacents.) sont égaux si les droites sont parallèles.
.
- Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
VI.2. Triangle rectangle :
Utilisation de la trigonométrie :
Exemple : Calcul de l’angle â
AB est le côté adjacent et BC le côté opposé de l’angle â
VI.3. Angles inscrits et angles au centre :
Propriétés :
- Le théorème des angle inscrits affirme que si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
- Le théorème de l’angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d’un angle inscrit interceptant le même arc.
VII. DROITES PARALLÈLES ET PERPENDICULAIRES :
VII.1. Propriétés :
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
- Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
VII.2. Démonstration triangle rectangle ou non :
Si l’on connaît la dimension des 3 côtés, on calcule le carré du plus grand côté et la somme des carrés des 2 autres côtés.
- Si la somme est égale, on en déduit que le triangle est rectangles (théorème de Pyhagore).
- Si la somme est différente, on en conclue que le triangle n’est pas rectangle ( contraposée du théorème de Pythagore).
Rappel : si le théorème est le suivant Si on A alors on obtient B. La réciproque de ce théorème serait « Si on B alors on obtient A (pas toujours vraie) et la contraposée : si on n’a pas B alors on n’obtient pas A (toujours vraie).
VII.3. Triangle inscrit dans un cercle :
Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et la médiane relative à l’hypoténuse a pour mesure la moitié de celle de l’hypoténuse.
SI un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point du cercle alors il est rectangle en ce point.
VII.4. Démontrer que 2 droites sont parallèles ou non :
Si l’on connaît 4 longueurs en configuration de Thalès.
VIII. DÉVELOPPEMENT D’EXPRESSIONS
VIII.1. La règle de double distributivité :
Exemple :
(2x – 3) (4+ 5x) = 8x + 10 x2 -12 – 15x = 10 x2 -7x – 12
VIII.2. Les identités remarquables :
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- (a + b)(a -b) = a2 – b2
Exemples :
(x + 2)2 = x2 + 2x + 4 (3x – 2)2 = 9x2 – 6x + 4 (2x + 3) (2x -3) = 4x2 – 9
IX. FACTORISATION D’EXPRESSIONS
IX.1 Un facteur commun :
Exemple : (4x – 3)2 – (4x -2)(4x -3) = (4x-3) ((4x -3) – (4x -2)) = (4x – 3) (-1) = 3 – 4x
IX.2. Utilisation des identités remarquables :
- Rechercher le double produit de type (.. + ..)2 ou (..- ..)2
Exemple : x2 -6x + 9 = (x – 3)2 vérifier le double produit 2 x (-3) = – 6x pour arriver au résultat
- Chercher un facteur commun
Exemple : 9 – 36x2 = (3 + 6x) (3 – 6x)
X. GÉOMÉTRIE SPATIALE
X.1. Formules sur les aires
X.2. Formules sur les volumes :
X.3. Formules sur les aires de solides :
Aire latérale = somme des aires des faces latérales
Aire totale = Aire latérale + Aire bases (pour un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles et les bases deux polygones identiques)
Aire sphère = 4 × π × R2
X.4. Sections :
k = HO’ / HO = HA’/HA = HB’/HB = HC’/HC
Propriétés liées à un agrandissement de coefficient k :
- les longueurs sont multipliées ou divisées par k
- les aires sont multipliées par k2
- les volumes sont multipliés par k3
Citation sur les mathématiques :
“En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.”
Eric Temple Bell
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